一道曾被麻省理工学院的数学家们进行过分析辩论的逻辑题

husonghu

在扑克牌的例子里，如果我不看我拿的53张牌，从中随机地去掉52张(很可能把大王也拿掉了，52/54的可能)，等拿到我手里只剩1张时，你的1张与我的1张相比，确实是等概率的，但决不是各1/2的chance，而是各1/54的chance(也就是说你我手里这张是大王的希望都很小)。www.ddhw.com 但如果在我拿的53张牌中，去掉的52张是选出来的(都不是大王)，那么，你的1张与我的最后1张相比，就不是等概率的了，拿到大王的可能，你的1张只有1/54的chance，我的1张有53/54的chance。 lottery也同此理：共有1000000张彩票，你随机买1张，另外有999999张，如果从999999张中随机地拿掉999998张(很可能把中大奖那张也拿掉了，999998/1000000的可能)，等拿到只剩1张时，你的1张与的剩下的1张相比，确实是等概率的，但决不是各1/2的chance，而是各1/1000000的chance得大奖。但如果在999999张中，去掉的999998张是选出来的(都不是中大奖的)，那么，你的1张与剩下的1张相比，就不是等概率的了，你的1张只有1/1000000的chance，而剩下的1张有999999/1000000的chance。 轿车和山羊那题，是属于上述的第二种拿法(即，选择性地把不中的去掉)，所以原来你拿的1票与剩下的1票相比，就不是等概率的。 Hope this helps.www.ddhw.com

yinyin

Hu兄在例子中已说得很清楚。请持反面意见的朋友们再温习一下概率论基础知识。另外，请诸位朋友注意概率论中这样一个基本结论：以概率１发生的事件与任何事件都是相互独立的。因此，事件 "打开的门后没车"（以概率１发生）与事件 "你所选的门后有车" 是相互独立的，。这样，在事件 "打开的门后没车" 发生的条件下，事件 "你所选的门后有车" 的条件概率与原来的概率（无条件概率）相等，即还是１／３。它不会因事件 "打开的门后没车" 的发生而改变。 www.ddhw.com

狐

其实,当玩家在主持人打开一扇羊门后,回答说不改变选择时,他就已经在剩下的两扇门中又做了一次选择,只不过选的和第一次是一样的. 这就是1/2的来由. www.ddhw.com     本贴由[狐]最后编辑于：2007-2-15 1:13:12

狐

YIN也气得吐血,才公布答案吗?   慢! 莫非...你不知道答案? www.ddhw.com

yinyin

并不是所有二中选一的experiment都具有（１／２，１／２）的概率分布。狐M说的 "在剩下的两扇门中又做了一次选择" 中的两扇门的地位是不对称的，不能由此推定概率分布是（１／２，１／２）。 yinyin才不教条呢。狐M可去查查概率论教材，看看有几本是写着 "以概率１发生的事件与任何事件都是相互独立的" 。

开开心心

先感谢一下大家对这个帖子支持 先来几个简单觧释方法   1、其实可以枚举一下所有的情况，例如：有a,b,c 3扇门，a后面是车。 那么： 1.选a，那么主持人打开b。改：没车；不改：有 2.选a，那么主持人打开c。改：没车；不改：有 3.选b，那么主持人打开c。改：有车；不改：没车 4.选c，那么主持人打开b。改：有车；不改：没车 www.ddhw.com 总结： 你选了a，那么，改：没车，不改：有 选了b,c,那么，改：有，不改：没车 你已开始选的是a的概率是1/3，bc概率是2/3，所以换好 -------------------------------------------------------------------------------------------- 2、如果一开始选中答案 不改            换  不换  选中   1/3  0    1 没选中 2/3  1    0 www.ddhw.com 所以 换->  0 * 1/3 + 1 * 2/3 =2/3     不换-> 1 * 1/3 + 0 * 2/3 =1/3 所以 换好 ----------------------------------------------------------------------------------------------- 3、方案1 step1: 选中车概率1/3  step2: 不变，故保持概率1/3 所以方案1 得到车的总概率 = 1/3  方案2： 情况A：step1选中车概率1/3，则step2得到车概率0，所以此概率为1/3 * 0 = 0 情况B：step1选中羊概率2/3，则step2得到车概率1，所以此概率为2/3 * 1 = 2/3 www.ddhw.com 所以方案2 得到车的总概率 = (1/3 * 0)+(2/3 * 1) = 2/3  换好 -------------------------------------------------------------------------------------------------4、 最开始的概率分布：   a      b      c 1/3   1/3   1/3  你选了a,主持人排除了c.留下b. 主持人参与后的概率分布:   a      b      c 1/3   2/3     0 现在你选b，就捡了个大便宜哦！所以当然要换。 www.ddhw.com 主持人帮你排除了一个错误的选择，于是你所获得的有用信息 增大了。 这就是关键！ ------------------------------------------------------------------------------------------------www.ddhw.com 最后试用计算机模拟了这个过程，来计算每种选择的成功的概率。下面是采用C++编写的模拟程序： ＃i nclude www.ddhw.com ＃i nclude www.ddhw.com ＃i nclude ＃i nclude www.ddhw.com ＃i nclude www.ddhw.com  www.ddhw.com using namespace std;  www.ddhw.com bool changeSucc( int sam1, int sam2, int sam3 );www.ddhw.com int checkCar( const vector<int> &vecDoor );www.ddhw.com  www.ddhw.com void main {www.ddhw.com        int cntExperiment;      // 试验次试www.ddhw.com        cout << "Input the count of samples: ";        cin >> cntExperiment;www.ddhw.com        www.ddhw.com        // 产生3*cntExperiment个随机数www.ddhw.com        vector<int> vecSam;www.ddhw.com        srand( time(0) );        for ( int i = 0; i < cntExperiment*3; i++ )www.ddhw.com        {www.ddhw.com               if ( i%3 == 0 )       cout << endl;www.ddhw.com                 float num = rand;www.ddhw.com               vecSam.push_back( num );www.ddhw.com  www.ddhw.com               cout << num << " ";        }www.ddhw.com  www.ddhw.com        int cntChangeSucc = 0;   // 换门之后成功的次数www.ddhw.com        int cntChangeFals = 0;   // 换门之后失败的次数  www.ddhw.com        // 进行cntExperiment次试验，每次取得3个随机数（代表三个门）www.ddhw.com        // 统计考生第二次换门之后能成功取得轿车的概率www.ddhw.com        for ( int i = 0; i < vecSam.size; i = i + 3 )        {www.ddhw.com               if ( changeSucc( vecSam, vecSam[i+1], vecSam[i+2] ) == true )www.ddhw.com               {www.ddhw.com                      cntChangeSucc++;www.ddhw.com               }               elsewww.ddhw.com               {www.ddhw.com                      cntChangeFals++;               }www.ddhw.com        }www.ddhw.com        cout << "cntChangeSucc = " << cntChangeSucc << endl;        cout << "cntChangeFals = " << cntChangeFals << endl;www.ddhw.com  www.ddhw.com        cout << "change success prob: " << (float)cntChangeSucc / cntExperiment << endl; }www.ddhw.com  www.ddhw.com // 用三个随机数表示三个门，sam1,sam2, sam3中最大的数表示门后是轿车www.ddhw.com // 假设考生第一次选择了第0号扇门，这里没有采用随机选择的方法www.ddhw.com bool changeSucc( int sam1, int sam2, int sam3 ) www.ddhw.com {        vector<int> vecDoor;www.ddhw.com        vecDoor.push_back( sam1 );www.ddhw.com        vecDoor.push_back( sam2 );        vecDoor.push_back( sam3 );www.ddhw.com  www.ddhw.com        int car = checkCar( vecDoor );       // 轿车的代表门号www.ddhw.com  www.ddhw.com        // 由于考生选择了第0号门，现在主持人去掉剩下两个门中的一个www.ddhw.com        // 这里采用去掉剩下两个数中较小的数，以保证不要去掉轿车www.ddhw.com        int change;       // 考生选择change时，选择的另外一个门号www.ddhw.com        if ( vecDoor[1] < vecDoor[2] )www.ddhw.com        {               change = 2;www.ddhw.com        }        elsewww.ddhw.com        {www.ddhw.com               change = 1;        }www.ddhw.com  www.ddhw.com        // 判断如果change，是否取得轿车www.ddhw.com        if ( change == car )www.ddhw.com        {               return true;www.ddhw.com        }www.ddhw.com        else        {www.ddhw.com               return false;        }www.ddhw.com }www.ddhw.com  www.ddhw.com // 检查哪个门后是轿车，这里用最大的数代表轿车www.ddhw.com int checkCar( const vector<int> &vecDoor ) {www.ddhw.com        int max = 0;        for ( int i = 0; i < vecDoor.size; i++ )www.ddhw.com        {www.ddhw.com               if ( vecDoor > vecDoor[max] )www.ddhw.com               {                      max = i;www.ddhw.com               }www.ddhw.com        }  www.ddhw.com        return max;www.ddhw.com } 经运行之后，第二次换门之后成功获得轿车的概率为2/3。要换   www.ddhw.com

yinyin

看来铱兄没理解我说的话。"看看有几本是写着 "以概率１发生的事件与任何事件都是相互独立的" "是说绝大多数概率论书上都没有写出这一结论。它不是从哪本书上抄下来的（虽然可能会出现在某本书上），所以才说不教条。书是人写的，没错。而且绝大多数书中都会有这样那样的错误。yinyin读过的数学书中就很少有不带错误的，经典著作Measure Theory （by Pual R. Halmos)就是这 "很少" 中之一。这确是一本好书，借此坛向学过概率论但不熟悉概率公理化定义的朋友们推荐该书第九章Probability。 www.ddhw.com

yinyin

哈哈，杀麻雀用牛刀。  不过，麻雀还是不能幸免于难的。 顺便说一下，随机模拟不是证明（proving），仅是印证（verifying）。只要懂得概率论中独立事件及条件概率这些概念，问题就迎刃而解了。

开开心心

  有理

ChangeOrNotNoDiffere

www.ddhw.com No change is better, because it saves your energy.

CmodifiedProblem

This problem is the same as the following modified one, 假设你在进行一个游戏节目。现给2扇门供你选择：一扇门后面是一辆轿车，另一扇门后面是一头山羊。 主持人先你作一次选择, 你的目的当然是要想得到比较值钱的轿车。 Change or no change, no difference. www.ddhw.com

qpqp0qpqp

回答完全正确。只是你的选择汽车的几率从1/3增加到1/2而已，换了以后还是1/2（其实还是从1/3变成了1/2）。其实你只能关注主持人开了一扇门之后（也就是1/2）。 原贴： 文章来源: 色盲® 于 2007-2-12 20:0:47 标题：回复：回复：回复：回复：回复：一道曾被麻省理工学院的数学家们进行过分析辩论的逻辑题www.ddhw.com 实际上，如果你选了A，而主持人因为知道车在哪扇门后，并打开了一扇空门，就确认了你现在所选的门不仅仅是孤立的A了。实际上主持人帮助你排除了一个空门，所以你现在所选择的A有轿车的可能性并不是1/3，而是1/2。无论你是否改变选择，你选中有车的门的可能性都是1/2，除非你还把主持人打开过的门考虑进去，算1/3

qpqp0qpqp

1000000变到5的问题，几率是增大了没错。但是换了以后还是1/5（只是主持人让你的几率增大了而已）。 www.ddhw.com 原贴： 文章来源: husonghu® 于 2007-2-12 22:43:40 标题：下面用一个比较简单思路，帮助我们想通这个问题。看大家是否同意。有错请指正： 许多问题，我们把场景推到极端一些，会比较好理解。让我们试想一个乐透奖：一个大奖，在1000000张彩票里，你买了其中的一张。现在，“主持人”把不中奖的999995张去掉，剩下5张，大奖票就在其中，问你要不要拿你原来的那一张换现在5张里的一张，你会说不换吗？www.ddhw.com 原题是从3变到2，使人难辩。现在是从1000000变到5，一看就清楚。但本质是一样的，都是概率增大了。(注意，这个极端例子的数学意义与原题的数学意义并不完全相同) (这里有一种情况要排除在本题的题意之外：就是主持人明明知道你一开始就选中了有轿车的门，还问你要不要换。当然，这时就已经不是本题要体现的数学问题了，而是主持人在作弊、骗人了。所以，如果你今后在国内参加抽奖，不要仅仅只记住这一题的结论，还要辨一辨是否主持人有意作弊骗人，存心不让人得奖 ---- 若真是(明明知道你已经选中了，还问你要不要换)，那就去告那主持人或主持单位 )   www.ddhw.com

qpqp0qpqp

你把原题弄拧了（似乎让我们以为得奖的票就在那5张里，其实同样的概率在你手上这张票里）。如果主持人浓缩了得奖概率，则你手中那张有跟其他5张相同的得奖概率1/6。主持人浓缩那5张的同时，你这张的得奖概率也在浓缩。 原贴： 文章来源: husonghu® 于 2007-2-14 5:6:44 标题：狐MM和铱朋友请进，再看看我用极端例子作的说明：.....www.ddhw.com 让我们试想参加一个乐透奖：只有一个大奖，在1000000张彩票里，你买了其中的1张。在你手里这1张得大奖的概率是1/1000000， 对不？ 在你手中之外的999999张彩票得大奖的概率总和是999999/1000000，对不？ 现在，“主持人”把那999999张(在你手中之外的)彩票拿掉不中奖的999995张，剩下5张。这5张就“浓缩了”(或说“代表了”)原来999999张彩票得大奖的概率总和，即999999/1000000，对不？ 问你要不要拿你原来手中的那1张换这5张(从999999张“浓缩”而来)中的一张，你会说不换吗？我想答案是：当然换！ 差别是： 不换，你得大奖的概率就是1/1000000，真是微乎其微。 换，你得大奖的概率是接近1/5 (=999999/1000000乘以1/5)。 这个例子想通了，轿车和羊那题也就想通了：www.ddhw.com 不换，你得轿车的概率是1/3 换，你得轿车的概率是2/3 (=2/3乘以1) (这里2/3对应于上例的999999/1000000，即是你原来这1票之外的两票得轿车的概率总和)

qpqp0qpqp

本人改变主意了，胡兄回答得非常清楚。加分！！！ www.ddhw.com 原贴： 文章来源: husonghu® 于 2007-2-14 21:19:15 标题：基于铱朋友的观点，让我说说其中的问题所在：....... 在扑克牌的例子里，如果我不看我拿的53张牌，从中随机地去掉52张(很可能把大王也拿掉了，52/54的可能)，等拿到我手里只剩1张时，你的1张与我的1张相比，确实是等概率的，但决不是各1/2的chance，而是各1/54的chance(也就是说你我手里这张是大王的希望都很小)。 但如果在我拿的53张牌中，去掉的52张是选出来的(都不是大王)，那么，你的1张与我的最后1张相比，就不是等概率的了，拿到大王的可能，你的1张只有1/54的chance，我的1张有53/54的chance。www.ddhw.com lottery也同此理：共有1000000张彩票，你随机买1张，另外有999999张，如果从999999张中随机地拿掉999998张(很可能把中大奖那张也拿掉了，999998/1000000的可能)，等拿到只剩1张时，你的1张与的剩下的1张相比，确实是等概率的，但决不是各1/2的chance，而是各1/1000000的chance得大奖。但如果在999999张中，去掉的999998张是选出来的(都不是中大奖的)，那么，你的1张与剩下的1张相比，就不是等概率的了，你的1张只有1/1000000的chance，而剩下的1张有999999/1000000的chance。 轿车和山羊那题，是属于上述的第二种拿法(即，选择性地把不中的去掉)，所以原来你拿的1票与剩下的1票相比，就不是等概率的。 Hope this helps.   www.ddhw.com

Chairman

  I am slow but this one makes great sense! Agree!