从Hu兄《兄弟情深 囚徒抓豆修改版之二》引起的

salmonfish

版主Hu兄的《兄弟情深 囚徒抓豆修改版之二》见
http://www.zzwav.com/thread-164566-1-1.html

昨天当Hu兄的《兄弟情深 囚徒抓豆修改版之二》一贴出，开开就给出了答案。但细想之后，发现适合题意的答案太多。譬如，当#1选取了一颗豆子时，#2可以有很大的一个范围选取他的豆数（开开给出了范围50~72）都不会影响到后继“弟兄们”的推理和正确选择。譬如说，#2取了50。#3已知数值 1 肯定被取，根据所剩豆数49，知#2的豆数为50.  因为50>49>27(2,3,4,5,6,7之和）,#3尽可放心取2，#4取3，。。。留下#8收取残余29。这样，除了#1和#2，大家都存活。如果#3反向取数还有那许多解（合在一起数量至少上百）。
俺感觉这样就失去了趣味性，所以试想找另一种唯一解法。经不住开开的鼓励，这里，俺把Hu兄的提问稍微改动了一下，还是用Hu兄原题的条件和规定。
问
1）当#1先取了 1，那么#2可以取什么最小数为上限，同样使得其他人都得以受到保护，而且每个后继者都可以发现对自己，对别人都安全的数？
2）依次，每个后继者（#3，#4，#5，#6，#7，#8）可以取什么最小上限数，使得他自己和其他人都得以受到保护，而且他的每个后继者都可以发现对自己，对别人都安全的数？

husonghu

对原题而言，开开的最初答案无疑是100分的答案。就是：尽管兄弟们都相互理解心思和个个聪明透顶，排号在前的兄弟还是会以最明确最保险的方式把自己的信息传递给后者，越是排在前面的兄弟，越是会仔细，要使得后面的兄弟根本就没有犯傻出错的余地 ---- 这个是关键。或者说，最可能的组合如同“双重保险":  既有个个聪明这重保险，又有明确的信息传递这重保险。所以，最可能的组合不会太多。比如其中最佳也最明确的一种就是：  72, 1, 7, 6, 5, 4, 3, 2。

从趣味性的角度， 三文兄的思路，也是很有意义的，就是：万一前面兄弟的取法不是最明确的，凭题给的条件(兄弟们都相互理解争先赴死这个心思而且个个聪明透顶)这个“单重保险”，怎样达到6人存活的结果。答案会有很多，也很有意思。甚至，万一中间某一兄弟出点错，紧接的一位如何及时纠错避免无谓的牺牲。比如：前两位取了73，如果第三号犯傻取了6（不是7），四号应该怎样取？ ----- 他应该从剩余的豆数中算出他该取7，而不是其它数，这样把三号的错误及时纠正过来，把唯一正确的序列5,4,3,2（或2,3,4,5）留给后面的四位。

大家可以想想许多不同的scenarios.

salmonfish

正如Hu兄所言，尽管根据题目给定的条件，囚犯们都很聪明，但这还不够，前面取数的人还要将信息清楚的传给后面的弟兄们。这里信息的传递不是由前面的人一下子就能让所有的后继者都清楚他的方法，而应该是逐步传递下去的。每个人根据所剩豆数，#2传信息给#3，#3传给#4，。。。

那么，当#1很自然地取了 1（定义了下限），#2应该取一个数使得后来者取的数都无法超越自己（舍己救人）。这个数其实也就定义了一个上限。问题是#2 可以在一个很大范围内取（上限）值（例如，开开说的可以从50到72），且保证后继者无法超越。但是，取哪一个值，或哪一些值能够将信息准确地传递下去？开开正确地提出来#2 应该取 72。这是因为数值 72 在#2可取值范围内有它的特殊性，即72 是#2可取值范围的最大上限，是唯一的。得知#2 取走了72，#3（也是聪明人）得到信息，在保证后继者安全的前提下，它应该取自己可能取值范围的最大上限，即，数值 7。依次，信息传递下去，#4取6，#5取5，。。。得开开解。又知，在#2可取值的范围内也一定存在一个唯一的最小上限。同72一样，这个值也是#2取值范围内的一个具有唯一性的“特殊”数值。如果#2取这个值，#3也应该得到从#2传来的信息。那就是在自己可能取值的范围内取最小上限值。然后，这个信息依次传递下去也可以使得剩下的囚犯都得以生存。这两个过程在信息内容和传递方面没有什么实质性的不同。所以根据题意，大家都是"很聪明的人“，都应该能抓住前者送来的信息。 这样最后，不管是遵循那个过程，除#1，#2外，大家都得救。

从趣味性方面来看，#2最大上限的取值是根据后继者取数的“最小安全数组”（7,6,5,4,3,2）之和来确定的；#3最大上限的取值也是根据后继者取数的“最小安全数组”（6,5,4,3,2）之和来确定的；。。。相对来说，“最小安全数组”的确定比较容易 Eyeballed out。而每个人的最小上限值的发现却不是那么显然，需要一些思考。但是这种思考仍不超出初等（数学）推理和运算的范畴。况且已知这些囚徒都是“很聪明的人”。这样，如果#2取最小上限为值，那么，#3自然就会思想为什么#2不取似乎显然的 72（最大上限）？ 经过思考#3应该会很快地发现#2取的数也是一个特殊值---最小上限值！这样，他也就照葫芦画瓢，。。。。依次，后继者都得救。

这也就是俺在Hu兄题目下加上一个延伸的初衷---增加一些趣味性。

husonghu

salmonfish 发表于 2015-5-16 12:01
正如Hu兄所言，尽管根据题目给定的条件，囚犯们都很聪明，但这还不够，前面取数的人还要将信息清楚的传给后 ...

我想我懂得鱼儿的意思了. 除了1号和2号两人之一必定会取1颗豆之外,对8兄弟中的6人, 确实存在这样的最小上限数. 是一个很有意思的问题. 先留给大家讨论思考了.

开开心心

1）当#1先取了 1，#2最小数为上限是50

已能预知 最大与最小 已被 #1与#2 取去
原题可剩余

2）依次，每个后继者（#3，#4，#5，#6，#7，#8）可以取最小上限数是：2、3、4、5、6、7

husonghu

开开的回答不是三文的原意。

我来提示一下 -------

为简化起见，我们把一号二号可以互换的两种组合视为一种，都假设一号取1，二号取一个大数。（BTW,  一号二号其中之一取了1颗豆是后面6兄弟都坚信的一个“共识”）。

二号取的这个大数不一定要大到72.   三文的意思是：二号只要取到一个足够大的数（可以是72，也可以是60，还可以更小），就能保证所有后续的兄弟都是存活的（后续的兄弟尽可以坚信前面的兄弟安排没差错，只要后续的人都往后考虑周全就可以了）。三文问的是这个“足够大的数”最小可以小到多少，即所谓最小上限数是什么。

对二号而言有他要判断的一个最小上限数；同理，前两兄弟取了一个总数后，对三号而言有他要判断的一个最小上限数；接着四号有一个四号要判断的一个最小上限数；从二号到七号这6个兄弟都各有自己的一个最小上限数要判断。

请注意这句关键的话：后续的兄弟尽可以坚信前面的兄弟安排没差错，只要后续的人都往后考虑周全就可以了。即：在三文这个方法里，所有后续的兄弟都不需顾虑前面的兄弟的取法，只要明智地考虑到在自己后面的兄弟就可以了。

这些个最小上限数，连同一号的1，以及八号的最后取的一个数，将组成一个序列，这个序列也是存活率最高最保险的序列，意义是与开开的答案一样的，虽然没有开开的1, 72, 7, 6, 5, 4, 3, 2 或 1, 72, 2, 3, 4, 5, 6 , 7来得简单。

salmonfish

94,94
后续的兄弟尽可以坚信前面的兄弟安排没差错，只要后续的人都往后考虑周全就可以了。
后继兄弟其实也都在思考，在验证前面的兄弟“为什么用这个（或这些）数，而不是用类似开开所选的最大上限？”经过稍微思考，每个聪明人都会一拍脑袋说：“我知道了”。然后，这个信息就会被传递下去了。趣味就在后继的每个人都要这样验证，思考前面兄弟的数，然后加以简单的推理，运算得出自己的最小上限数。

开开心心

还是不明白
变一变
#1 取1
#2 取8
#3 剩余 91  已知 9 包括 最大与最小  当然取2
余下的 只要比当前选 加1 就一定不撞车 也免死

1、8、2、3、4、5、6、7

100可剩余，为什么不能？

此题关键只要知道#1与#2 取了最大与最小就足夠，谁取1不重要

salmonfish

开开心心 发表于 2015-5-17 11:37
还是不明白
#1 取1
#2 只要取1个数余数少过就可以 是50

Hint:
#1 取1
#2 可以取1个小于50的特殊数！！！

也就是说，存在一个小于50的数，这个数跟你选的 72 一样都具有某种特殊性。而#2的后继者可以利用这个数的特殊性逐步把信息传下去，得到存活的可能。

开开心心

salmonfish 发表于 2015-5-17 00:48
Hint:
#1 取1
#2 可以取1个小于50的特殊数！！！

我刚修改过

三文兄再看一下

salmonfish

开开心心 发表于 2015-5-17 11:55
我刚修改过

三文兄再看一下

如果#2 取数8， #3就可能取一个数大于8，而将#2保护住，自己牺牲。这样就跟条件相冲突了。因为#2在前，聪敏的#2将会先牺牲自己，并保护后继者。
另，如果#2选50，#3选2，那就会给#4留下ambiguity. 在#4的眼中（50, 2）的组合跟（49，3）的组合等价。#4就会被疑惑，而可能出现差错。

husonghu

开开让#2取8大有问题。一是如三文指出的，与原题条件冲突；二是更大的问题，4号及4号之后的兄弟，谁又能知8已被取、而保证没有其它人也取8呢？---- 请注意， 八兄弟没有任何事前约定和商量，7,6,5,4,3,2或2,3,4,5,6,7这个“安全序列”只是在你的方法中（前两人共取了73）自然形成的，因为这是后6人的唯一选择。如果前两人不是共取了73，你不能假定后6人一定会自然follow 7,6,5,4,3,2或2,3,4,5,6,7， 因为没有任何事前约定和商量。

总之， 开开还没有跳出7,6,5,4,3,2或2,3,4,5,6,7的局限，那只是你方法中（前两人共取了73）自然形成的，或者甚至可说是被#1#2逼出来的。 三文的方法与你的本质不同， 最后不一定形成这个特殊的“安全序列”，关键是，后面的6兄弟并没有约定和共识用这个序列，要是有的话，那这题目就变的很无趣了：不管#1#2怎样取，后面的6兄弟一概取7,6,5,4,3,2或2,3,4,5,6,7。 这绝对不是题目的原意。

salmonfish

husonghu 发表于 2015-5-17 12:34
开开让#2取8大有问题。一是如三文指出的，与原题条件冲突；二是更大的问题，4号及4号之后的兄弟，谁又能知8 ...

开开心心

1. 兄弟情深,每个人都争先舍己救人(换句话说,号次排前的兄弟会争先赴死,而把生的机会留给后面的兄弟)。

2. 所有兄弟都相互深知上述第1点；所有人都是很聪明的人,精通逻辑推理。

3. 除了舍己救人,他们不会无谓送死,总体是争取尽量多的兄弟存活。

4. 袋子里的100颗豆子不一定都取完。


各兄弟都知

#1与#2 都争先赴死,而把生的机会留给后面的兄弟

当#1 取1(最小)
#2 取什么数 是最大中最小(保证后续兄弟能不撞车不死)。8，是最大中最小
后续兄弟不会选9或以上，因为后续兄弟已知道要活。

后续的兄弟尽可以坚信前面的兄弟安排没差错，只要后续的人都往后考虑周全就可以了。

#3 摸到剩余 91，要能活下来，已能联想到#1与#2取1与8 或 8与1  ；取2

#4 摸到剩余89，要能活下来，已能联想到#1与#2取1与8 或 8与1；#3取2，#4取3
#5摸到剩余86，要能活下来，已能联想到#1与#2取1与8 或 8与1；#3与#4共取5，组合只能2与3才不会撞车，#5取4
#6摸到剩余82，聪明的人,精通逻辑推理。#6会取5
#7摸到剩余77，聪明的人,精通逻辑推理与。#7会取6
#8摸到剩余71，聪明的人,精通逻辑推理。#8会取7

后续的兄弟尽可以坚信前面的兄弟安排没差错(即前面#1、#2一定死，其它兄弟能活)

若后续兄弟能错选9或更大数，就不是聪明的人,精通逻辑推理了。

#2 取 (72,8)之间任何一个数包括8与72都可以

后续兄弟能取什么是由#2控制

聪明的人,精通逻辑推理，是不会取比#2所取数更大数去死。要活，一定取#1与#2所圈定的安全中间数，不是吗？

husonghu

开开心心 发表于 2015-5-17 16:59
1. 兄弟情深,每个人都争先舍己救人(换句话说,号次排前的兄弟会争先赴死,而把生的机会留给后面的兄弟)。

2. ...

开开，错错错。
据条件1. 兄弟情深,每个人都争先舍己救人(换句话说,号次排前的兄弟会争先赴死,而把生的机会留给后面的兄弟), 注意这个“都”字 ---- 能争到自己“舍己救人”的话， 没有人会坐视人家死而不争。
#2取8时，他已经不是“争先舍己救人”了，而是把“争先舍己救人”留给后面的兄弟了。这时，#3就会“争先舍己救人”，取一个最大的、后面的兄弟（或任何人）都不能超越的数，比如（按你最初答案的思路），取71，而留下总共20给后面的5个兄弟，“逼”他们选6,5,4,3,2 或 2,3,4,5,6.  结果就是：1,8,71,6,5,4,3,2 或 1,8,71,2,3,4,5,6.  结果是 #2 活， #3 死， 但这就不是原题意了。

总之，你没有理解三文这题的意思。.

开开心心

husonghu 发表于 2015-5-17 10:14
开开，错错错。
据条件1. 兄弟情深,每个人都争先舍己救人(换句话说,号次排前的兄弟会争先赴死,而把生的机会 ...

感谢hu 兄一而再解说
但还不大明白
还是坐等其它朋友玩玩好了

husonghu

我来开个解答的头吧：

假设一号已争先舍己救人取了1颗； 我是二号，也是争先舍己救人的， 我会至少取的数（即三文说的最小上限数 ) 是 40 。 这样, 前两兄弟的取法就是： 1,  40, ........     这个取法的效果与 1,  72, ..... 取法一样，必定是前两人赴死，后6人存活。后面的6兄弟只要人人都向后看，顾及后面所有人的安全，管好自己的取法，最后的结果必定不会有任何撞车，后6人存活。

（为何二号的最小上限数 是40， 我不解释，请各位自己figure out）

相似地，依前面兄弟已经取去的豆数的不同而不同，三号至七号都有各自的最小上限数。 Now， 请其他朋友在 1,  40, ..... 的基础上接着完成三号至七号的最小上限数，以此构成特定的8人取法序列（共有2个序列，因最后第八号有两种取法）----- 其效果等同于开开心心在我原题下给出的答案。

开开心心

#2的最小上限数 是40 ？

解题

#1+#2是41，剩余59

就算#4、#5、#6、#7、#8取最少几个数=6+5+4+3+2=20

#3 顶多取得 39

所以 #2最小上限数是40 绝对安全去死

楼下继续

husonghu

开开心心 发表于 2015-5-18 06:01
#2的最小上限数 是40 ？

解题

开开， perfect.

salmonfish

开开心心 发表于 2015-5-18 09:01
#2的最小上限数 是40 ？

解题

salmonfish

husonghu 发表于 2015-5-18 07:42
我来开个解答的头吧：

假设一号已争先舍己救人取了1颗； 我是二号，也是争先舍己救人的， 我会至少取的数 ...