四点问题

冷眼看戏的Lili · 发表于 2011-8-26 04:07:14

试证明平面上任何满足S条件的四个点一定具有下述分布形式：（1）两对可以在平面上相互自由游动的点子，每对中那两点的距离都为1；（2）三点构成单位正三角形，另一点可以在平面上任意游动。
参见http://www.topchinesenews.com/readpost.aspx?topic_id=9&msg_id=8857&level_string=0z01z01z01&page=1

冷眼看戏的Lili · 发表于 2011-8-26 10:47:34

在第二条前加一个“或”字。

学生 · 发表于 2011-8-31 21:32:22

Lili你真能偷懒，都推给别人去证了。你说不难，那你也应该起码证一条给大家看看啊。

冷眼看戏的Lili · 发表于 2011-9-2 04:20:19

好吧，俺就来证明这一个。
考虑平面上四点a，b，c，d。要满足条件S，在他们之间的6条连线线段中，至少有两条长为1。（1）如果其中三点构成单位正三角形，那么另一点无论在什么位置，都满足条件S。（2）如果不存在其中三点能构成单位正三角形，那么有两种可能：（i）不妨设a、b 间和b、c 间距离为1（但a、c 间距离不为1），为满足条件S，必须有a、d 间距离为1或c、d 间距离为1（即四点成一链，每节长都是1）；（ii）取距离为1的两点，为满足条件S，另两点间距离必须是1。无论是哪种可能，都属于“两对可以在平面上相互自由游动的点子，每对中那两点的距离都为1”。证毕。

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