定义无理数

constant · 发表于 2008-7-8 00:11:11

一开始的时候（毕达哥拉斯的时候，2000多年以前吧），大家都认为所有的数都是有理数，而且还有证明：两个线段长度之比就是两个线段包含的点数之比，因此肯定是分数。但是后来有人发现了有理数之间是有缝的，例如正方形对角线的长度。据说最早发现这件事的就是毕达哥拉斯本人，当时就把他自己吓坏了，也不敢说出来。他的一个学生也发现了这件事，而且居然有胆子说出来。说出来的结果就是这个倒霉蛋被大家痛打了一顿之后扔到海里淹死了。www.ddhw.com

人可以淹死，无理数是淹不死的。慢慢的大家还是承认了无理数确实存在。但是存在是一回事，无理数到底是什么东西是另外一回事。很长时间没有人真正关心无理数是什么，反正不是有理数的就是无理数。这样一直到了18多少年的时候，人们可能是富裕一点了，开始有闲心考虑这些没用的事情，例如无理数的定义。首先不能再说不是有理数的就是无理数，馒头包子还不是有理数呢，你总不能说他们也是无理数吧。还有就是那个无限不循环小数的定义，也只能骗骗小孩子，认真起来也不行。第一，什么是无限不循环小数就不大容易说清楚，就是说清楚了也没办法用：你怎么定义根号2吧？你说1.4142...，我明明只看见4位小数，你凭什么说它是无限，还不循环？你说还有...，那...又是什么？所以用这个定义连一个无理数都定义不出来。

其实无理数不过就是有理数之间的缝，用缝来定义是最简单不过的了：每一个缝就是一个无理数。当然我们需要在数学上把缝描述一下：把所有有理数分成两个子集，一个叫左边，一个叫右边。并且满足下面几个条件：1）右边任意一个数都大于左边任意一个数，2）左边没有最大的，3）右边没有最小的。例如根号2就可以这样定义：右边是所有平方大于2的正有理数，左边是其余的数。清清楚楚，一点疑义都没有。有了这个定义，接下来再定义缝的加减乘除运算等，就有了一个完整的实数系统。再接下来就可以定义微积分，成为牛顿，...。

其实牛顿比这个要早好几百年，他根本也不需要知道什么无理数的定义。所以说这都是没用的东西，大家看完不要再被人骗就可以了。

idiot94 · 发表于 2008-7-9 22:53:26

您这跟贴是为了什么，小的就更不明白了。

yma16 · 发表于 2008-7-9 22:39:00

In the post it says 其实无理数不过就是有理数之间的缝. Since rational numbers are countable, the 缝 formed by the rational numbers seem to be countable as well. 东北逍遥客 disagrees with this kind explanation or definition.

idiot94 · 发表于 2008-7-8 21:39:50

请教您一下，小的不太明白您这些跟贴都是为了说明一个什么问题，能否给解释一下呢？

东北逍遥客 · 发表于 2008-7-8 18:45:46

鄙人不大会英语，如果误解你的描述，见谅。

我同意你说的，任意两个不同的有理数间肯定可以找到无数个无理数，任意两个不同的无理数间也可以找到无数个有理数，但这并不能就认为有理数完全可以和无理数类比。有理数是可列的，无理数是不可列的，他们根本不是一个档次。如果一只箭射中了数轴，那它射中的基本上是个无理数，射中有理数的概率要多小有多小。

**我之前的意思仅想说把无理数叫做有理数之间的缝不如把有理数叫做无理数之间的缝更符合“缝”这个词的含义而已**

我高考数学只有52分，希望不要再和我讲如何构建数学基础的问题了，那样肯定就把我给吓跑了。我们这个论坛也不会奢望小费尔马来发表论文吧？

HF: · 发表于 2008-7-8 16:59:18

My point was that: Things can become tricky when we go from finite cases to infinite cases. For example the 连续统假设 -- if you can accept such a 'weird' conclusion, then you should also be able to see why 无理数说成是有理数之间的缝 does not necessarily contradict that fact that the cardinality of the set of 无理数 is higher than that of 有理数, even though the finite counterpart of this is wrong.

It need some work to establish the real number system based on constant's explanation, but suppose we accept the real numbers and check constant's explanation, he is right: each irrational number can be (uniquely) regarded as a 缝 between two complementary sets of rational numbers, one for numbers greather than the irrational number in question, one for smaller.

东北逍遥客 · 发表于 2008-7-8 10:25:10

东北逍遥客 · 发表于 2008-7-8 08:30:53

我刚才说要比作高斯了吗？

不会要我去解决康托的连续统假设吧？(据说已经解决)

如果觉得“一”不太可靠，那我认错了:)，用“N”代替吧

另：用纯汉语说不明白吗?

HF: · 发表于 2008-7-8 07:33:57

不会不知道无理数个数比有理数个数高一个级别吧？ -- Can you prove there is only one 级别 difference between 无理数个数 and 有理数个数?

husonghu · 发表于 2008-7-8 06:18:37

见到康兄的贴子太高兴了

东北逍遥客 · 发表于 2008-7-8 05:31:44

不会不知道无理数个数比有理数个数高一个级别吧？怎么还把无理数说成是有理数之间的缝呢？不会把地球形容成南极点与北极点之间的缝吧？

还成为牛顿呢

idiot94 · 发表于 2008-7-8 01:46:30

呵呵，师傅终于又冒泡啦：）

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呵呵，师傅终于又冒泡啦 ：）

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