魔方

constant · 发表于 2006-1-23 23:11:01

最近翻了翻以前的老题，有些还是挺有意思的，值得再出一遍。如果你见过而且还记得答案，就先等一等，给别人一个机会。

魔方

难度：++++

一个 N 阶魔方是 1 到 N^2 这 N^2 个数排成一个 NXN 的正方形，使得任一行，任一列，及两对角线加起来的和都相等。下面是两个例子：www.ddhw.com

8www.ddhw.com	1www.ddhw.com	6www.ddhw.com
3www.ddhw.com	5www.ddhw.com	7www.ddhw.com
4www.ddhw.com	9www.ddhw.com	2www.ddhw.com

16www.ddhw.com	2www.ddhw.com	3www.ddhw.com	13www.ddhw.com
5www.ddhw.com	11www.ddhw.com	10www.ddhw.com	8www.ddhw.com
9www.ddhw.com	7	6www.ddhw.com	12www.ddhw.com
4www.ddhw.com	14www.ddhw.com	15www.ddhw.com	1

现在问能不能找到一个方法，可以很容易的写出任意阶的魔方？

ob · 发表于 2006-1-25 21:50:59

I wonder whether we can solve the following equitions to get the result:

SUM(Nii)=N*(N^2+1)/2, i from 1 to N

Sum(Nij)=N^2*(N^2+1)/2, i and j from 1 to N

Sum(Nij)=N*(N^2+1)/2, for fixed i when j changes from 1 to N

Sum(Nij)=N*(N^2+1)/2, for fixed j when i changes from 1 to N.

Sum (Nij)=N*(N^2+1)/2, here i and j change from 1 to N and satisfy i+j=N.

There are N^2 equitions total. Solve this equition group and we can get Nij.

constant · 发表于 2006-1-26 00:19:14

要加上条件 Nij 各个不同，且都在1与N^2之间，不然 Nij=（N^2+1)/2 就行了。但加了条件就没什么办法求解了。

ob · 发表于 2006-1-27 22:34:01

Now I need to figure out a different way

constant · 发表于 2006-1-30 21:20:16

有人想吗？

流动的建筑 · 发表于 2006-1-31 20:17:36

想了一下，没能完全解决，权当抛砖引玉吧。

我们可以先构建一个基本矩阵 A，A(i,j)=(i-1)*N+j. 注意到 A(i,j)+A(N+1-i,N+1-j)=N²+1。我们称 A(i,j) 与 A(N+1-i,N+1-j) 互补。

N 是奇数时比较容易，把 A 的主对角线写成新矩阵 B 的列，再安排 B 每列的次序使 B 的每行是 A 的副对角线。

如果 N=4n，可以采取交换互补数的策略，使新矩阵 B 的每行每列中恰好有 2n 个数是 A 中对应位置的互补数。

如果 N=4n+2, 还没想到怎么办。N=2 时很明显没有解。

constant · 发表于 2006-1-31 22:51:56

两种情况都对。第三种和第一种有点像。

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Now I need to figure out a different way[:%]

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两种情况都对。第三种和第一种有点像。