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外国"古董" 数学竞赛题 [:D)]

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楼主

发表于 2005-10-27 23:34:38 | 只看该作者回帖奖励

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(1901年匈牙利数学竞赛题)www.ddhw.com

证明: 1^n+2^n+3^n+4^n

能被5整除的充分必要条件是 n 不能被4整除

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沙发

发表于 2005-10-28 05:19:40 | 只看该作者

回复：外国"古董" 数学竞赛题 [:D)]

Let n = 4k+i, where i = 0, 1, 2 or 3

1^(4k+i) mod 5 = 1

2^(4k+i) mod 5 = 16^k * 2^i mod 5 = 2^i

3^(4k+i) mod 5 = 81^k * 3^i mod 5 = 3^i

4^(4k+i) mod 5 = 256^k * 4^i mod 5 = 4^i

i = 0, the sum mod 5 = 4

for all other 3 cases, sum mod 5 = 0

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楼主| 发表于 2005-10-28 17:08:41 | 只看该作者

Very good![@};-][@};-]

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