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标题: 这一题估计需要数学高手来解答 [打印本页]

作者: xyh 时间: 2008-6-28 08:10
标题: 这一题估计需要数学高手来解答

作者：西线晨雾

假设有理数的乘法交换律是成立的。怎样证明无理数的乘法交换律？

作者: 喝醉了的猫 时间: 2008-6-28 08:50
标题: 有英文原版么？中文专业名称看不懂

有英文原版么？中文专业名称看不懂

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作者: idiot94 时间: 2008-6-28 19:50
标题: 您这问题里面的所谓无理数是如何定义的呢？无理数上的运算，比如乘法，又是

如何定义的呢？

中学里面介绍无理数是从有理数入手介绍的，可是公理化的实数定义一般不是这样的。

作者: xyh 时间: 2008-6-29 02:48
标题: 说明一下，这题来源于一篇文章，有兴趣的朋友可以读一读

神秘的无理数 - 挑战学院派

西线晨雾

无理数是在小学期间学的。当时没觉得无理数有什么神秘的，就是有点麻烦，求了
一位又一位，总也算不完。好在老师说了，求出小数点后三，四位就行了。到了大
学，学了级数才感觉到了无理数的神秘。在小学中所学的无理数的定义是无限不循
环小数，也就是不循环的阿拉伯数字串与小数点构成。对比级数概念，其实，无理
数就是以十为基的幂级数。谈到级数，就有收敛性问题，也可以说是有理序列的收
敛问题。那么到底是应该先建立有理序列的收敛概念来定义无理数，还是应该先定
义无理数从而建立序列的收敛概念？听起来似乎有点逻辑循环的味道。这就是我感
到的无理数的神秘性。www.ddhw.com

读了一些大师们写的书，更增加了我对无理数的神秘感。无理数的定义在这些大师
们的书中复杂去了。什么集合，什么戴狄金分划，非常难懂。看了这些书，我在佩
服作者功力之余，有一点不舒服的感觉。难道要懂无理数，需要学那么高深复杂的
知识？如此说来，小学生，中学生，甚至非理科的大学生都不能真正懂得无理数了？
真对这个问题，我也请教过一些资深的数学教师，他们的回答是，你以前学的都错
了，只有大师们写的书才是严格的。要想培养严格的思维，就得参照大师们的书，
按步就班学起。这就是学院派的回答。

读了不同风格的教科书和工作中积累的经验告诉我，简单的系统容易成功。把各个
教科书中的简单点集合起来几乎就是一本严格的教科书。有时简单就意味着严格。
以我最近在灵机一动出的一道题为例：利用有理数的乘法交换律证明无理数的乘法
交换律。遵循简单无理数定义的都给出了比较严格的证明。而遵循复杂无理数定义
的都还没有给出证明。复杂定义的有柯西有理序列定义无理数和戴狄金分划定义无
理数。而我偏偏认为，柯西有理序列定义和戴狄金分划定义都是不严格的。下面我
就谈谈理由。www.ddhw.com

如果要用柯西有理序列定义无理数，先要证明柯西有理序列的收敛性。而有理柯西
序列的收敛性证明要用到单调有界定理/实数完备性定理。而实数完备性定理，要求
实数被定义。另外无论什么序列的收敛性证明都要讨论

|an - c| 小于 e

如果c 能和 an 做减法，那么c一定要被事先定义。

现在讨论戴狄金有理分划定义无理数。我所知道的最常用的定义是，当有理分划的
下组没有最大数，上组没有最小数时，约定分划夹一个数。这个数就是无理数。其
实这个定义也是有缺陷的。首先，所谓夹就是比较大小。在这个数没定义之前，怎
样参与和有理数的比较？如果是逐位比较，那么说明这个数已有定义，不必定义两
次。还有，没有无理数的定义，怎样证明下组没有最大数，上组没有最小数的有理
分划的存在？就算这种分划存在，如何证明这种分划存在空隙而能容纳一个数？如
果数中只有整数被定义，1和2之间还有空隙吗？换句话说，如果没有无理数的事先
定义，就不能证明，下组没有最大数，上组没有最小数的有理分划夹一个数。如果
只定义有理数域，没有更广泛的数域，有理数域的非只能是空集。www.ddhw.com

走了一大圈，我们终于发现，最简单的定义是最完美的定义。也就是把无理数定义
为无限不循环小数。尽管它能写成级数形式，由于某些无限不循环小数是一些正方
形和矩形的斜边的长度，我们直接把他们接纳为数。再把这个概念扩展，一切无限
不循环小数都是数。当然这个定义也是公理化定义(没有被证明为几何量值的无限
不循环小数也被接纳)。这个世界是开环的还是闭环的我们不知道(很有可能是闭环
的，也就是互为因果的)，但人类的论证只能从一个起点出发。这就需要公理。

从这个简单的无理数定义出发，很容易推导出实数的性质。有了无理数的事先定义
才可能证明下组没有最大数，上组没有最小数的有理分划夹一个数，从而很容易地
推出实数完备性定理，为以后的极限论铺平道路。同时这种逻辑次序也是最有利于
教学的，学生容易接受。

有时简单就意味着比较完美，有时简单就意味着严格。www.ddhw.com

本贴由[xyh]最后编辑于：2008-6-30 1:16:2

作者: idiot94 时间: 2008-6-29 04:05
标题: 有句不中听的话，不知道兄弟听不听得进去？

兄弟，如果您想认真学习数学，最好不要看这一类半懂不懂的东西，这样不仅浪费您自己宝贵的时间，而且会让您形成错误的观念，是有百害而无一利的。

我不是反对创新，反对突破。但是但凡创新，但凡突破，但凡批判，都要建立在对已有系统的透彻理解之上，试想，如果一个人根本就不知道他所批判的东西是什么，他的批判还有什么意义呢？

相似的，在很多水平不高的诗词论坛上，经常看到一些自诩为新诗人的网友，对于格律，平仄大放厥词，可是仔细一读他们的文章，其实这些人基本上完全就不知道格律是个什么东西，平仄又是怎么一回事情，仅仅因为自己无知，而且懒得去钻研，就简单的先验的去批判一个自己并不了解的东西。这是很没有意思的事情。

这篇文章也是一样，文章的作者并没有搞清楚公理化实数定义的精髓，甚至连皮毛也理解有误，然后就随随便便的发表自己的“高论”，他的这种东西，懂的人自然懒得花功夫搭理他，大学一二年级的基础课上的东西，自己就算没学过，随便找个课本，一个晚上的功夫也就看懂了，这位作者连这点功夫都不肯用，还谈什么“挑战“呢？

兄弟啊，现代自然科学和数学博大精深，发展到今天，连一个通晓一门学科的人都不再可能有了，要想仅仅凭着一点点小聪明就去“挑战”这座大厦的基石，真的是很可笑可怜的事情。

作者: 喝醉了的猫 时间: 2008-6-29 10:43
标题: 同意哈，数学这门知识真的不是短时间靠聪明随便看看就能学出成绩的，貌似现在开始学数学有啥子用

同意哈，数学这门知识真的不是短时间靠聪明随便看看就能学出成绩的，貌似现在开始学数学有啥子用

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作者: idiot94 时间: 2008-6-29 19:03
标题: 呵呵，活到老学到老，学习总是有好处的，不过必须有鉴别。

呵呵，活到老学到老，学习总是有好处的，不过必须有鉴别。

作者: xyh 时间: 2008-6-30 23:46
标题: 听得进去，当然听得进

记得很久以前，idiot94曾经表达过对民科的不屑与反感，这点我很同意。

这篇文章我没有怎么看明白，原意是解释一下题目中无理数定义问题（也就是文中提到的简单定义？），没有想到闯了大篓子。

无论如何，我接受idiot94兄的建议，以后需要谨慎小心。

作者: idiot94 时间: 2008-7-1 09:39
标题: 哪有什么篓子：）呵呵。。对于基础知识，只看经典著作就好了。[:-Q]

哪有什么篓子：）呵呵。。对于基础知识，只看经典著作就好了。

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