两个盒子解释 - 珍珠湾ART

有两个盒子，里面放着钱，一个是另一个的二倍。现在给你一个盒子，你打开看，里面的钱数是a。你可以有一个选择，交换另一个盒子。你这样想：另一个盒子中的钱数可能是2a，也可能是a/2，平均是(5/4)a，当然应该换。

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问题是上面的推理与a的值无关，也就是说即使不打开盒子也可以做同样的推理，也应该换。换过去之后再做同样推理，还应该再换回来。然后再换过去，再换回来。。。而且每换一次，盒里钱的期望值都增加了5/4，所以只要不停的换下去，过不了多一会儿你就变成 millionaire 了。

这个问题应该这样解释：一开始放钱的时候，一个盒子中的钱数是一个随机变量X，另一个是2X。盒子不打开时，每个盒子中钱的期望值都是1.5*E(X)，换不换都是一样的。如果一个盒子打开了，里面钱数是a，另一个盒子中的钱数的期望值就和X的分布有关了，从a/2到2a的每个数都可能。一般来说，a较小时，另一个盒子是2a的概率大一些（>1/3），期望值会>a，这时应该换。a较大时，另一个盒子是2a的概率小一些，期望值会

这个题和开门的题不太一样，开门的题只用了概率的基本知识。这个题已经不是古典概型了，用的知识多了一点。

Agree, but "（>1/3）" should be deleted.

另外，"a较小时" 和 "a较大时" 的说法欠确切，相对什么较小较大？建议以X的期望值（可惜在题中没给出）作比较对象。

1）1/3 挺重要的，如果总是 > 1/3，在无穷大的方向就会不收敛。如果总是 < 1/3，在0的方向就会不收敛。

2）较小较大是“一般来说”，是trend。（大部分时候我对“严格叙述”没有太大兴趣，叙述太严格了有时会很乏味。）而且这里也很难严格，除非你知道分布。与期望值也没有很直接的关系。

同意康兄所说的 "这个题已经不是古典概型了" 。www.ddhw.com

结论应该跟X的均值及分布形状有关。记X的均值为m 。当X具有从０到２m的对称三角概率分布密度时，若打开的盒子里面的钱数a＜m，则另一个盒子是2a的（条件）概率恰为4／5；若m＜＝a＜＝２m，则此概率为１－a/(8m－3a)；若a＞２m，则此概率为０。其他情况就不好说了。所以，我建议删去你原帖中的 "(＞１/３)" 。以上计算结果若有误，请指正。

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由此可知，在这样的三角分布下，要保留原帖中的 "(＞１/３)"，"a较小" 应量化为 "a＜16m／9" 。

yinyin没能理解康兄所说的 "收敛" 。烦请解释一下，是什么东西的 "收敛" 。www.ddhw.com

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我说的>1/3是指另一个盒子是2a的概率 >1/3。这时能够保证另一个盒子的期望值>a，所以应该换。

对任意给定的分布，这样的a值都可以量化。但如果不是单峰的分布，这个量化就可能会很麻烦，所以只能是“一般来说”。

收敛是指密度函数的收敛。如果上述概率总是>1/3，那么对任意小区间(a,b)，密度函数在(2a,2b)的积分不小于在(a,b)的积分，就会不收敛了。

yinyin现在知道了康兄的 "(>1/3)" 不是从 "a较小时" 推出来的，而是从作换的决策所要求的 "另一个盒子是2a的期望值会>a" 倒推得来的。">1/3" 不是a较小的后果，而应理解成 "a要小到使得另一个盒子是2a的概率>1/3" 。这样的话，"a较小" 就不能作为决策者决策时的依据，决策者必然会问 "a要小到什么程度才能使得另一个盒子是2a的概率>1/3 ？" 。事实上，这一问题的回答是依赖于X的概率分布的。在三角分布的情况下，我已给出了解答，请康兄核对一下，是否有误。在均匀分布的情况下，答案更简单一些：设X具有［０，２m］上的均匀分布，那么当a＜＝２m时，另一个盒子是2a的概率＝1/3；当a＞２m时，另一个盒子是2a的概率＝０。也就是说，当a＜＝２m时，换不换都一样；当a＞２m时，不换。
至于康兄说的 "收敛是指密度函数的收敛。如果上述概率总是>1/3，那么对任意小区间(a,b)，密度函数在(2a,2b)的积分不小于在(a,b)的积分，就会不收敛了。" yinyin还是难于理解。作为一个连续型随机变量的密度函数，它应满足以下条件：非负、Riemann可积、全直线上积分为１。它跟收敛概念似难联系。再说，您的解释也解释不了我对康兄说的 "如果总是 < 1/3，在0的方向就会不收敛。" 的疑问。
又给康兄添忙了，请别介意。

我说收敛的意思是如果有这样一个分布，使得概率总是>1/3，用反证法就会得出积分不收敛。而且不限于Riemann积分，Stieljes积分也可以。

<1/3时是一样的，对任意小区间(a,b)，密度函数在(a/2,b/2)的积分不小于在(a,b)的积分，在0附近的积分就会发散。

如果是Stieljes积分，（这时可能是离散的，）积分可能是收敛的，即这样的分布有可能存在，但是这时分布的期望值是无穷大。

因没有其他朋友对此讨论感兴趣，就不占这里的版面。有空时再发私人信件来讨论也许更方便。谢谢回帖！