Alice 有几个黄头发的女儿？ - 珍珠湾ART

Alice 有很多女儿,如果随机地从她女儿中挑两个,两个都是黄头发的概率是1/3,问Alice有几个女儿,其中几个是黄头发的?

有没有无限多解？能否找到和蓝眼睛类似的通项公式？

设 Alice 有 n 个女儿, 其中 m 个黄头发。C(m,2)/C(n,2)=1/3, 即 3m(m-1)=n(n-1)

先考虑 3x^2=y^2 +2

显然 (1,1) 是一个解，设 (a,b) 是一个解，那么我们有 3a^2-b^2-2=0。

我们可以用递推公式找到它的无穷解, 令www.ddhw.com

c=2a+b

d=3a+2b

证明 (c,d) 也是一组解:

3c^2-d^2-2

=3(2a+b)^2-(3a+2b)^2-2www.ddhw.com

=12a^2+12ab+3b^2-9a^2-12ab-4b^2-2

=3a^2-b^2-2=0 (因为 (a,b) 是方程的一组解 )//

如果(a,b) 都是奇数，显然 (c,d) 也都是奇数。

由此可得：www.ddhw.com

(c,d): (1,1), (3,5), (11,19), (41,71), (153,265),...

令 m=(1+c)/2

我们要证明关于 n 的方程 n(n-1)= 3m(m-1) 有正整数解，

n^2-n-3m(m-1)=0

n=[1+ \sqrt {1+12m(m-1)}]/2

只有证明 \sqrt {1+12m(m-1)} 是个奇数:

=sqrt {1+12m^2-12m}

=sqrt {1+3(1+c)^2-6(1+c)}

=sqrt{3c^2-2}

=sqrt{d^2}=dwww.ddhw.com

因为 (c,d) 是方程 3x^2=y^2+2 的一组奇数解，

所以,

m=(1+3)/2=2, n=3

m=(1+11)/2=6, n=10

m=(1+41)/2=21, n=36

m=(1+153)/2=77, n=133

... 如果不考虑实际可能性，此题也有无数解

非常严谨的证明。

这两个问题能不能放在一起求联立解？不知道有没有解。有也一定很大，可能和阿基米德问题差不多大。

蓝眼睛问题的解也可写成这样，即设 a, b 为 2*x^2 - 1 = y^2 的解，则 (a+1)/2, (b+1)/2 为蓝眼睛问题的解。联立问题就成了求方程组 n^2 = 2*m^2 - 1 = 3*k^2 - 2 的整数解。

还是不知道有没有解，也不想算了。

求方程组 n^2 = 2*m^2 - 1 = 3*k^2 - 2 的整数解

I could not find any integer solution until n=12000

What is your interpretation of the 方程组 n^2 = 2*m^2 - 1 = 3*k^2 - 2 的整数解? Do you mean (n+1)/2 is the number of Alice's daughters? In my proof for blond hair case, (k+1)/2 is the number of daughters with blond hair, the number of all daughters is not (n+1)/2, I calculated it from p(p-1)=3m(m-1) using m=(k+1)/2.

I'm confused. Didn't you have

(c,d) = (3,5), (11,19), (41,71), (153,265), ...,

(m,n) = (2,3), (6,10), (21,36), (77,133), ...?

I didn't notice this nice relation. Thank you!