数学知识:最杰出的业余爱好者——费马 - 珍珠湾ART

我已经发现了大量极其美妙的定理。
                                    ——P．费马

    并不是所有我们的鸭子都能成为天鹅；所以在把笛卡儿作为有史以来最伟大的数学家之一展现结读者之后，我们不得不为下面这个经常提到而且极少被反驳的断言辩护，这个断言就是，十七世纪最伟大的数学家是笛卡儿的同代人费马（1601？—1665）。这当然把牛顿（1642—1727）排除在我们的考虑之外了。但是人们可以争辩说，费马作为一个纯数学家，至少与牛顿相当，而且不管怎么说，牛顿一生将近三分之一的时间是在十八世纪，而费马完全生活在十七世纪。

    牛顿似乎把他的数学主要当作科学探索的工具，并且把他的主要精力放在科学探索上。而费马则不然，他虽然在将数学应用于科学、特别是光学方面也作了值得注意的工作，但纯数学对他具有更强的吸引力。

    随着笛卡儿在1637年公布了解析几何，数学刚刚进入它的现代状态，很多年内仍将处在这样的初级阶段，因而一个有天赋的人当然有理由希望在纯数学和应用数学领域里都作出有益的工作。

牛顿作为一个纯数学家，在发明微积分中达到了他的顶点，莱布尼兹也独立作出了这一发明。稍后我们对此还要多说一些，而现在，可以说费马在牛顿出生前三十年，莱布尼兹出生前十七年，就想出并应用了微分的主要概念，虽然他没有象莱布尼兹那样，把他的方法归结为一套甚至傻瓜都能用来解决问题的、单凭经验来做的方法。

至于笛卡儿和费马，他们各自都完全独立地发明了解析几何。他们在这个问题上旗鼓相当，但这并未影响到上述断言。笛卡儿的主要努力在于各种各样的科学研究，对他的哲学的苦心经营，以及他那荒谬的太阳系“旋涡理论”——很长时期，甚至在英国，它也是极其简单的、并不玄奥的、牛顿宇宙万有引力理论的一个重要对手。费马似乎从来没有象笛卡儿和帕斯卡两人那样，为狡诈而富于诱惑力的关于上帝、人和作为整体的宇宙的哲学探讨所吸引；所以，在解决了微积分和解析几何中他感兴趣的部分，并过着平静的、一直为居家度日而努力工作的生活之后，他仍能自由地把他的剩余精力奉献给他最喜爱的消遣——纯数学，并完成了他最伟大的工作，奠定了数论的基础，他那无可争辩而又不可分割的不朽的名声就建立在上面。

不久我们就会看到，费马和帕斯卡分享了概率的数学理论的创造，如果所有这些第一流的成就还不足以使他在纯数学上居于他的同代人之首，那么我们要问，谁做得更多?费马是生就的创造者。在业余这个字的最严格的意义上，就他的科学和数学而论，他也是个业余工作者。无疑地，他在科学史上即使不是第一个，也是最重要的一个业余爱好者。

    费马的一生是安静、勤勉、过得很平静的，但是他从中得到了很多东西。他平静生涯中的重要事实很快就能讲完。数学家皮尔·费马是博蒙的第二领事、皮鞋商多米尼克·费马和一个议会法官家庭的女儿德隆·克莱尔的儿子，1601年8月（准确的日子不清楚，受洗礼的日于是8月20日），出生在法国的博蒙—德—洛马内。他最早是在他出生的小城市接受家庭教育；后来，为担任地方行政官员作准备的学习是在图卢兹继续进行的。由于他一生过着平稳和安静的生活，避开无益的争执，也由于他没有一个象帕斯卡的吉尔伯特那样溺爱他的蛆姐，把他少年时代的天才记录下来留给后人，因此他的学生时代几乎没有什么材料留下来。不过那一定是非常出众的，这从他成年后取得的成绩和成就就可以明显地看出来；在要求严格的学问方面没有坚实基础的人，不可能象费马那样成为古典学者和文学家。他的关于数论和数学的出色的著作，一般说来不能追溯到他所受的教育，因为他在其中作出他最伟大的工作的领域在他作学生的时候还没有打开，他学习的东西几乎不可能对他有所启发。

    在他的实际生活中，唯一值得提及的那些事件是，他三十岁（1631年5月14日）在图卢兹就职，任晋见接待官；同年6月1日他与他母亲的表妹德隆·路易丝结婚，她们生了三个儿子，其中克莱芒-萨米埃尔成了他父亲的科学执行人，还有两个女儿都当了修女；1648年他升任图卢兹地方议会的议员，他在这个职位上体面、正直、非常称职地干了十七年——他从事工作的全部三十四年的时间都在勉力为国家服务；最后，1665年1月12日，处理完在卡特雷城的一件案子之后两天，他在该城去世，终年六十五岁。“故事吗？”他可能会这样说：“上帝保佑你，先生！我没有什么故事。”然而这个度过平静的一生的、诚实、和气、谨慎、正直的人，有着数学史上最美好的故事之一。

    他的故事就是他的工作——更确切地说，是他的消遣——他做这工作纯粹是出于对它的爱好，它的最好的部分是如此简单（只是说来如此，完成或仿效就不同了），甚至一个智力正常的小学生都能了解它的性质，并欣赏它的美。过去三个世纪中，这个业余数学家之王的工作，对所有文明国家的数学业余爱好者都有着无法抗拒的吸引力。这个称为数论的理论也许是这样一个数学领域，今天有天赋的业余爱好者可以希望从中找出一些有意思的东西。我们将首先看看他的其它贡献，不过是在顺便提一下很多人称之为人文学的领域中他“独特的学识”之后。他对主要的欧洲语言和欧洲大陆的文学，有着广博而精湛的知识，希腊和拉丁的哲学由于几个重要的订正而得益于他。用拉丁文，法文，西班牙文写诗是他那个时代绅土们的素养之一，他在这方面也表现出了熟练的技巧和卓越的鉴赏力。如果我们把他描绘成一个和蔼的人，不因受到批评而发怒或生气（象牛顿晚年那样），不骄傲，但有些自负，我们就能了解他的平稳好学的一生了。他在各方面的对立面笛卡儿形容他的自负说：“费马先生是个加斯科尼人，我可不是。”这里提到的加斯科尼人，大概是指一些法国作家（例如罗斯丹在《贝日拉克的西哈诺》第二幕，第七场中）笔下的加斯科尼人所具有的一种可爱的吹牛习气。在费马的信中可能有一些这样的吹牛的话，但总是相当天真和不触犯人的。即使他的头脑已经膨胀得象气球那样大了，也从没有涉及他对自己的工作可能持有的公正看法。至于卡笛儿，我们应该记得，他确实不是一个公正的裁判者，我们马上就会指出，在他与这位“加斯科尼人”关于极其重要的切线问题的长期争论中，他自己那军人般的固执怎样使他败在了对方手里。

    一些人在考虑到费马的公职的艰难费力的性质和他完成的大量第一流数学工作时，对于他怎么能找出时间来做这一切感到迷惑不解。一位法国评论家提出了一个可能的答案：费马担任议员的工作对他的智力活动有益而无害。议院评议员与其它的——例如在军队中的公职人员不同，对他们的要求是避开他们的同乡，避开不必要的社交活动，以免他们在履行职责时因受贿或其它原因而腐化堕落。这样，费马就找到了大量的空闲时间。

    我们现在扼要叙述一下费马在微积分的发展中所起的作用。如我们在关于阿基米德那一章中说过的。微分的与几何对等的基本问题是画一条直线，在给定的点相切于一条曲线上的给定的、非闭的连续弧。此处对“连续”的意义的一个非常接近的描述是“光滑，不断开或没有突然的跳跃；”给出一个确切的、数学的定义，需要写出长长几页的定义和极细微的区别，这些定义和区别肯定会使微积分的发明者，包括牛顿和莱布尼兹困惑而吃惊。也不难想象，如果那两位创造者知道了现代学生要求知道的全部细微区别，那么可能就永远也不会发明微积分了。

    包括费马在内的微积分的创造者们，都依赖几何和物理（多为运动学和动力学）的直观以取得进展：对于一条“连续曲线”的图形，他们注视着自己头脑中的想象，描绘出画一条直线在曲线上的点P处相切于曲线的过程，这个过程是，取另—个也在曲线上的点Q，画连接P和Q的直线PQ，然后，在想象中让点Q沿着曲线弧滑向P，直到Q与P重合，当弦PQ在上面所描述的极限位置时，它就成了曲线在点P的切线PP——这就是他们要寻找的东西。

    下一步是把所有这些翻译成代数或分析的语言。他们在Q开始滑动去与P重合之前，先知道了图上点P的坐标x，y和Q的坐标，比如说x+a，y+b，然后他们审视着图，看出弦PQ的斜率等于b／a——显然是弦相对于x轴（x的距离在其上量度的直线）的“倾斜度”的一种度量；这个“倾斜度”就是精确的斜率的意义所在。由此就很清楚了，点P处所求切线的斜率（在Q已经滑动到与P重合之后）就应该是当b与a同时趋近于0时，b／a的极度限值；因为Q的坐标x+a，y+b，最终成了P的坐标x、y，这个极限值就是所需要的斜率。有了斜率和点P，他们现在就能画出切线了。这并不就恰好是费马画切线的过程，但是他的过程大体上与上面描述的过程相同。

    为什么这一切值得一个有理智和注重实际的人认真考虑呢？这是一个很长的故事，此处只需略为提一提；当我们讨论到牛顿时，再详细论述，动力学的基本概念之一是一个移动的粒子的速度。如果我们相对于时间的单位数画出粒子在单位时间内通过的距离的单位数，我们就得到了一条线，无论是直线还是曲线，它画出了粒子在瞬间的“运动”，而这条线在其上任意点处的切线明显地给我们以粒子在瞬时相对于点的速度；粒子运动得越快，切线的斜率越陡。事实上，这个斜率确实测量了粒子在运动路径中任何点的速度。运动中的问题当转换为几何问题时，确实就是找出一个曲线在给定点的斜率的问题。也有与曲面的切平面（在力学和数学物理中也有重要的解释）对应的类似的问题，这些问题都要用微分学来着手解决——而微分学的基本问题，我们已经试图以它出现在费马和他的后继者面前的样子加以描述了。

这个微积分的另一个用途可以从已经说的这些表示出来。假定有一个量y是一个量t的“函数”，写成y＝f（t），意为当任意确定的数，比如说10，用来代替t，使我们得到f（10）——“10的函数f”时，我们就能够从假定已经给出的f的代数表达式，计算出y的对应值，此处y＝f（10）。为了更明确起见，假定f（t）是在代数上用t^2，或t*t表示的t的特定函数。那么，当t＝10，我们得到y＝f（10），因而此处对于t的这个值，y=10*10＝l00；当t＝1／2，y＝1/4，等等，对于t的任意值。

凡是不是在三十或四十年前结束初级中学教育的人，对所有这些都是熟悉的，但是一些人可能已经完全忘了他们孩童时期在算术中做过些什么，正象其它人不能拒绝拉丁文的圣饼以拯救他们的灵魂。但甚至最健忘的人也会看出，我们能够对任何f 的特别形式，画出y=f（x）的图形（当f（x）是t2时，图形是一个象翻转过来的拱那样的抛物线）。想象一下画出来的图形。如果在图形上面有极大（最高）或极小（最低）点——比它们紧邻的那些点更高或更低的点——我们观察到在每一个这样的最大和最小点处，切线平行于t 轴。那就是说，在我们正在画的f（x）的这样一个极值（极大或极小值）处，切线的斜率是零。这样，如果我们正在寻找一个结定函数f（t）的极值，我们不得不再次对特别的曲线y＝f（t）解决我们的斜率问题，在找到一般点t，y处的斜率后，让这个斜率的代数表达式等于零，以找出相对于极值点的t的值。这大体上就是费马在他的极大极小方法中所做的，这个方法是他在1628—1629年发明的，但直到十年后才半公开，那时他通过梅塞内把这个方法的一份说明送给笛卡儿。

这个简单的设想在科学上的应用——当然，为了考虑比上面描述的复杂得多的问题，经过了充分而细心的构思——是多种多样并十分广泛的。例如在力学中，拉格朗日发现，有某个问题中所考虑的物体的份量（坐标）和速度的“函数”，取一个极值，这个函数就给我们提供了所论系统的“运动方程”，这些反过来又使我们得以决定在每一给定时刻的运动——即完全地描述了这个运动。在物理学中有很多类似的函数，在问题中的函数必须是一个极值函数（这个说法对目前的考虑是足够精确了。实际上，要求的是使问题中的函数平稳（粗略地说，既不增加也不减少）的变量（坐标和速度）的值。一个极值点是平稳点；但是一个平稳点未必是一个极值点。）的简单要求下，这些函数中的每一个都概括了数学物理的一个广阔的分支；希耳伯特在1916年为广义相对论发现了一个这样的函数。所以当费马在辛苦的法律事务的余暇，以研究极大和极小的问题作为消遣时，他并不是在浪费时间。他本人把他的原理应用于光学，做得又漂亮又令人惊奇。

附带说一下，可以注意到的是，这个特殊的发现已经被证明是从1926年起人们精心构作的新的量子理论的萌芽——在它的数学方面，指“波动方程”。费马发现了通常所谓的“最小时间原理”。称它为“极值”（最小或最大）比称为“最小”要更准确些。

    根据这个原理，如果一束光线从一个点A射向另一个点B，途中经过各种各样的反射和折射（“折射”，也就是弯曲，就象光线从空气进入水中那样，或是光线通过不同密度的胶状物那样），那么它经过的路程——所有由于折射的扭转和转向，由于反射的难于捉摸的向前和退后，——可以由从A到B所需的时间为极值这个单一的要求计算出来（但注意前面的脚注）。

由这个原理，费马推出了折射和反射的熟知的规律：入射角（在反射中）等于反射角；从一个介质到另一个介质的入射角（在折射中）的正弦是反射角的正弦的一个常数倍。

    我们已经提到过解析几何，费马首先把它应用于三维空间。笛卡儿满足于二维。今天所有的学生都熟悉这个推广，但它即便对一个有才能的人来说，也不是从笛卡儿的发展中不证自明。也许可以说，要找到把一种特殊的几何有意义地从二维推广到三维，通常比把它从三维推广到四维或五维……，或n维困难得多。费马在一个基本论点上（曲线由它们的阶分类）修正了笛卡儿的理论。多少有些爱发怒的笛卡儿竟会与沉着冷静的“加斯科尼人”费马争吵起来，看来是很自然的，因为这个军人在关于费马的切线方法的争论中通常是急躁而易怒的；而这位心平气和的律师还是照样彬彬有礼。就象通常发生的那样，不发怒的人在争辩中占了上风。但是费马是注定要胜利的，这不是因为他更会辩论，而是因为他是正确的。

    顺便提一下，我们推测，牛顿应该听到过费马用过微积分，并且应该感谢过这个信息。但直到1934年以前，没有关于这个结论的明显证据公布出来，但就在这一年，L.T.莫尔教授在他写的牛顿的传记中，记述了一封至今未被人们注意的信，在那封信里，牛顿清楚地说，他从费马画切线的方法中得到了微分法的提示。

我们现在转向费马最伟大的工作，所有的人，不论是数学家还是业余爱好者，都同样能了解这项工作。这就是所谓的“数论”，或者叫“高等算术”，或者最后，用一个不卖弄学问的名称，叫算术，这个名称对高斯来说就足够好了。

    希腊人把我们在初级课本中收集在“算术”名下的杂类分成了两个单独的部分，即逻辑学和算术，其中的第一部分是关于计算在一般商业和日常生活中的实际应用，第二部分就是在费马和高斯意义下的算术，他们力图照这样去发现数的性质。

    算术在它的最终的，也许是最困难的问题中研究一般整数1，2，3，4，5……的相互关系，这些数我们差不多一会讲话就能说。在为说明这些关系的努力中，数学家不得不去发明代数和分析中的那些微妙而深奥的定理，这些定理中森林般的术语遮蔽了最初的问题——那些关于1，2，3，……的问题，但它们的真正作用就是解答那些问题。同时，这些表面上无用的研究的副产品，丰富地报偿了从事这些研究的人，向他们提出了大量可应用到与物理世界有直接联系的其它数学领域的有力的方法。我们只举一个例子，代数的最新的阶段，今天由专业代数学家开垦并正在给代数方程理论指出全新的途径，它的起源就直接追溯到解决费马的简单的最后定理的努力（在给最后定理做好了准备后，就会陈述它）。

    我们从费马关于素数的一个陈述开始。一个正的素的数，或简称为素数，是任何比1大、且除数（没有余数）只是1和它本身的数；例如2，3，5，7，13，17是素数，而257，65537也是素数。但是4294967297不是一个素数，因为它以64l为一个除数，18446744073709551617也不是素数，因为它可以被274177整除；641和274177都是素数。当我们在算术中说一个数以另一个数为除数，或者说可以被另一个数除时，我们意味着整除，即没有余项。这样14可以被7除，而15就不能。上面那两个大数是故意写出来的，原因马上就会清楚了。回忆起另一个定义，一个给定的数，比如说N，它的n次幂是n个N乘在一起，写做 N^n；这样，5^2＝5*5＝25，8^4＝8*8*8*8＝4096。为一致起见，N本身可以写做N^1。再如，象一个塔形的2^3^5意味着我们首先要计算3^5（=243），然“提升”2到这个幂上，2^243；答数有74位。

下一个论点在费马的一生中是非常重要的，在数学史上也是如此。考虑数3，5，17，257，65537，它们都属于一个特殊类型的“序列”，因为他们都是用同一个简单的过程（由1和2）生成的，这可以从3＝2+1，5＝2^2+1，l7＝2^4+1，257=2^8+1， 65537＝2^16+1看出来，如果我们愿意检查计算过程，我们很容易看出上面写出过的那两个大数是2^32+1和2^64+1，它们也是这个序列中的数。这样，我们就有了属于这个序列的七个数，这些数的前五个是素数，但后两个不是素数。

观察一下这个序列是如何构成的，我们注意到“指数”（指出2取什么样的幂次的上角那些数），是1，2，4，8，16，32，64，并且我们观察到这些数是1（如果我们愿意的话，为一致起见，它可以象在代数中那样，写成2^0），2^1，2^2，2^3，2^4，2^5，2^6。也就是说，我们的序列是2^2^n+1，而n的范围是0，1，2，3，4，5，6。我们无需在n=6停止；取n＝7，8，9，……，我们可以无限地继续这个序列，得到越来越多的巨大的数。

    假定我们希望找出这个序列中的一个数是否素数。虽然有很多捷径，可以通过检验剔除试验除数的整个类；虽然现代算术限制了需要尝试的试验除数的类型，我们问题的吃力程度仍然与用小于给定数的平方根的相续素数2，3，5，7，……来除给定数的吃力程度相当。如果这些数都不能整除给定的数，则该数就是素数。不用说，甚至对于象n为100这样小的数，即使用已知的捷径，这样一个试验所需要的工作量也会大得无法完成。（读者可以试着解决n=8的情形，以明确这一点。）

    费马宣称，他相信序列中所有的数都是素数。如我们已经看到的，所列出的数（相应于n=5，6）与他的结论相矛盾。这是我们希望说明的有历史意义的一点：费马猜错了，但是他并没有说已经证明了他的猜测。若干年之后，他确实对他已经做的工作做了一番费解的陈述，一些批评家由之判断他弄错了。我们继续讲下去，这个事实的重要性就会出现。

    出了心理上的好奇，可以提到美国的速算神童齐拉·科尔伯恩，当人们问他费马的第六个数（4294967297）是否素数时，经过一会儿心算，他回答不是，因为它有64l作为除数，他不能解释他得出正确结论的过程。本书中科尔伯恩还会再出现（与哈密顿联系在一起）。

在离开“费马数”2^2^n +1之前，我们要向前看看十八世纪的最后十年，在那十年中，整个漫长的数学史上的两个或三个最重要的事件之一，要部分归因于这些神秘的数。有一个时期，一个十八岁的年轻人一直踌躇着——按当时的传统——是把他极好的天赋奉献给数学还是奉献给语言学，他在这两方面都同样有才华。使他作出抉择的是一个美妙的发现，这个发现与每一个中学生都熟悉的初等几何中的一个简单问题有关。

一个n边正多边形的所有n个边都相等，所有n个角也相等。古希腊人早就发现了如何只用尺规画3，4，5，6，7，8，10，15边的正多边形，用同样的工具由给定的正多边形画出边长两倍于它的正多边形也很容易作到。那么下一步就是寻找7，9，11，13，……边的正多边形的尺规画法。很多人找过，但都没有找到，因为这样的画法是不可能的，只是他们不知道它不可能罢了，在间隔了两千二百多年后，那个在数学和语言学之间踌躇的年轻入向前迈出了下一步——大大的一步。

正如已经指出的，只要考虑奇数边的多边形就足够了。这个年轻人证明了用尺规画奇数边的正多边形是可行的，不过只有当边数或者是一个费马素数（就是形式为22n+1的素数），或者是由不同的费马素数乘在一起组成的数时才有可能。这样，3、5或15边的正多边形就象希腊人知道的那样，画出来是可能的，但是7，9，11或13边的正多边形就不能画出来，对于17，或257，或66537，或者在费马的数列3，5，17，257，65537中的下一个可能的素数——如果存在的话，这到目前（1936年）还没有人知道——也是可能的，对于3*17，或5*257*65537边，等等，也是可能的。正是这个在1796年6月1日宣布，但是在3月30日做出的发现，使这个年轻人选择了数学而不是语言学作为他的终生工作。他的名字叫高斯。

    我们叙述著名的“费马定理”（不是他的“最后定理”）作为费马做出的另一类有关数的发现。如果n是任意整数，p是任意素数，那么n^p-n可以被p整除。例如取p=3，n=5，我们得到5^3-5，或125-5，这又是120，也是3*40；对于n=2, p=11，我们得到2^11-2，或2048-2，这就是2046=11*186。

    算术中有一些定理被认为是“重要的”，而其它一些尽管同样难以证明，却被说成是微不足道的，要说明这是为什么，即便不是不可能，也是很困难的。一个标准（虽然不必是结论性的）是这个定理应该能运用到数学的其它领域中去；另一个标准是，它应该启发算术或广义的数学中的研究；第三个是，它在某些方面应该是带有普遍性的。刚才叙述的费马定理满足所有这些多少有些武断的要求：它在数学的很多领域中的用处都是不可或缺的，这些领域包括群论（见第十五章），而群论又是代数方程论的基础；它启发了很多研究，其巾的原始根的整个主题，注重数学的读者可以当做重要的例子；最后，它在下述意义上带有普遍性：它描述了所有素数的一个性质——要找出这样一般的论述是极其困难的，已经知道的非常少。

费马象通常那样，陈述了关于n^p-n的定理而没有证明。第一个证明是莱布尼兹在一篇没有注明日期的手稿中给出的，但他似乎在1683年以前就知道了一个证明。读者可能愿意设想出一种证明来试试自己的能力。需要的是下面一些事实，它们可以被证明，也可以为了手头的目的而假定为已知：一个给定的整数只能以一种形式，即素数相乘的形式——重新安排因子顺序除外——表示出来，如果一个素数整除两个整数的积（相乘的结果），那它至少整除两个数中的一个。举例说明：24＝2×2×2×3，24不能由任何有本质不同的素数的相乘形式表示出来——我们认为2×2×2×3，2×2×3×2，2×3×2×2，和3×2×2×2都是一样的；7整除42，而42＝2×21＝3×14=6×7，在每一个分解式中7都整除相乘得到42的两个数中的至少一个；再有，98可以用7整除，98＝7×14，这里7整除7和14两个数，因此至少整除其中的一个。根据这两个事实，只需要不到半张纸就能把证明写出来，并且任何正常的十四岁儿童都能够理解它。但是可以很有把握地打赌，在一百万任何年龄区或一切年龄的正常智力的人当中，那些所知道的数学不超过小学算术程度的人，只有不到十个能在一个适当的时间——比如说一年内，成功地找出一个证明。

    这里似乎是引用高斯的一些著名评论的适当地方，这些评论是关于费马和他本人最喜爱的领域的。译文出自爱尔兰数学家H.J.S.史密斯（1826—1883），译自高斯为1847年出版的义森斯坦的数学论文集写的序言。

“高等算术给我们提供了无穷无尽的有趣事实——也是真理，它们不是孤立的，而是有着密切的内在联系，随着我们知识的积累，我们不断地在二者之间发现新的，有时是完全出乎意料的联系。它们的那些定理的很大一部分从这样一个特性中得到了附加的魅力：有着简单特征的重要命题经常很容易由归纳法发现，然而这个特点却是如此深奥，我们只是在经过了许多徒劳的努力以后才能找出它们的证明；甚至当我们确实成功了，也通常是通过一些令人生厌的矫揉造作的过程证明的，而更简单的方法可能会长时间地未被揭晓。”

    高斯提到的这些有趣的事实之一，有时被认为是费马发现的关于数的最美妙的（但不是最重要的）东西：每一个形式为4n+1的素数是两个数的平方和，并且这种和的形式是唯一的。我们容易证明形式为4n-1的任何数都不是两个数的平方和。由于很容易看出所有比2大的素数都是这些形式中的一种，没有什么好加的了。例如，37被4除有余数1，所以37一定是两个整数的平方和。通过试验（有更好的方法），我们发现确实37＝1+36＝1^2+6^2，并且没有其它的数的平方x^2和y^2能使37＝x^2+y^2。对于素数101，我们有1^2+10^2；对于41，我们有4^2+5^2。另一方面，19＝4*5-1，它不是两个数的平方和。

    正如几乎他所有的算术工作一样，费马也没有留下这个定理的证明。伟大的欧拉在1749年首次证明了这个定理，而为了给它找到一个证明，欧拉断断续续地奋斗了七年。但是费马确实描述了他发明的一个巧妙的方法，他用这个方法证明了这个定理和他的其它一些令人赞叹的结果。这个方法被称为“无限下推法”，完成它比以利亚（《圣经》中的人物，耶稣诞生前为希伯来伟大先知）升天还要困难无数倍。他自己的记述既简单又清晰，所以我们从他1659年8月写给卡尔卡维的信中，不拘泥文字地翻译了一段。

    “有很长时间，我不能把我的方法应用于肯定命题，因为用到肯定命题上的迂回曲折的办法要比我用在否定命题上的办法麻烦得多。这样，当我不得不去证明每一个比4的倍数多1的素数是由两个数的平方构成时，我发现自己非常苦恼。但最后，我从一个重复了许多次的思考中得到了我所缺少的线索，现在，借用于一些必然与肯定命题相联系的新原理的帮助，我的方法能够应用于肯定命题了。我在肯定命题中的推理过程是这样的：如果一个形式为4n+1的任意选定的素数不是两个数的平方和，[我证明了]会有同样性质的另一个数，比选定的那一个小，[因此]接着有第三个更小的数，等等。用这个方法做无限下推，我们最后达到了数5，一类[4n+1]的所有数中最小的一个。[通过所提到的证明和上述的论证]可以知道5不是两个数的平方和。但是它是。因此我们可以从反证法推出，所有形式为4n+1的数都是两个数的平方和。”

将下推法应用到一个新问题的全部困难在于第一步，也就是去证明，如果假定或猜测的命题对于有关的数类中任意选出的一个数成立，那么它对于同一类中的一个较小的数也成立。解决这一步没有可以适用于所有问题的一般方法。要找到走出这个迷宫的道路，需要比拼命的忍耐力和大大夸张了的“忍受痛苦的无限能力”更罕见的东西。对那些认为天才只不过是有当一个好的簿记员的能力的人，可以劝他们把他们的无限的耐心用在费马的最后定理上。在叙述这个定理之前，我们再举出费马考虑过并解决了的那些简单得容易使人误解的问题中的一个例子。这就要介绍费马擅长的丢番图分析了。

    任何玩数字游戏的人很可能会在27=25+2这个奇妙的事实面前停顿下来，这里有意思的是，27和25都是确切的数的方幂，即27=3^3和25=5^2。这样我们就观察到，y^3＝x^2+2有一个整数x,y的解；这个解是x=3，y=5。作为一种对超人智力的测验，读者现在可以证明y=3，x=5是唯一满足这个方程的整数。这个测验并不容易。事实上，对付这件表面上幼稚的事，比掌握相对论需要更多的天赋智慧。

    方程y^3=x^2+2在解x，y都是整数的限制下是不确定的（因为未知量的个数x和y是两个，多于联系它们的方程的个数一个），它是一个丢番图方程。这个名称来自希腊人丢番图，他是首先强调方程的整数解或者（不那么严格地）有理（分数）解的人之一。没有整数的限制，无论怎样描述解的无穷性都毫无困难：这样我们可以给x以我们想给的任意值，然后通过结这个x^2加2，并给所得的结果开立方根来决定y。但是找出所有整数解的丢番图问题就完全是另一码事了。y＝3，x＝5这个解是“由检查”看出的,问题的困难在于证明没有其它的整数y，x能满足这个方程。费马证明了没有其它的解，但象通常那样没有发表他的证明。直到他死后好多年，才找到了一个证明。

    这一次他不是猜测，问题是很难的，他宣称他有了一个证明；后来就找到了一个证明。他的其它明确的断言都是如此，只有他在他的最后定理中作出的表面上很简单的一个断言例外，那个断言，数学家们奋斗了差不多三百年，还是没有证出来：不管什么时候费马断言他已经证明了什么，那么除了已经提到过的一个例外，那个断言后来总是被证明了的。他的严谨忠实的性格和他作为一个算术学家的无比的洞察力，充分证实了一些人，但不是所有的人，对他作出的判断，这个判断就是，当他宣称他有了他的定理的一个证明时，他知道他在说什么。

    费马有一个习惯，在读巴歇编的《丢番图》时，他把思考的结果简略地记在书页的空白处。空白处不适宜写下证明。这样，费马在评论丢番图的算术的第二卷上第八个问题时，该问题要求方程x^2+y^2＝a^2的有理数（分数或整数）解，他写下了如下的话：

    “反之，不可能把一个数的立方分解成两个数的立方和，把一个数的四次方分解成两个数的四次方的和，或者更一般地说，把大于二的任意次幂的数分解成两个同次幂数的和：我已经发现了[这个一般定理的]一个真正奇妙的证明，但是这个空白太窄了，写不下。”（费马《著作》 III，24l页）。这就是他在大约1637年发现的他的著名的最后定理。

    把这段话用现代语言叙述出来就是：丢番图的问题是找出整数或分数x，y，a，使得x^2+y^2=a^2；费马宣称，不存在这样的整数或分数，足以使x^3+y^3=a^3或x^4+y^4=a^4,或一般地，如果n是大于2的整数，使x^n+y^n=a^n。

    丢番图的问题有无穷多个解；例子是x=3，y=4，a=5；x=5，y=12，a=13。费马本人用他的无限下推法给出了x^2+y^2=a^2不可解的一个证明。从他那时起，x^n+y^n=a^n已经就整数（或分数）对很多数字n（直到小于n=14000的所有素数①，如果数目x，y，a没有一个可以用n整除的话）证明为不可能，但这还不是所需要的。要求的是解决所有比2大的n的证明。费马说他有了一个“奇妙的”证明。
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    ①  读者能够很容易地看到，只要就n是奇数的情形证明就够了，因为在代数上，u^ab＝（u^a）^b，其中u，a，b是任意的数。

在说了这么多之后，有没有他是弄错了的可能呢？这个问题要留给读者了。一个伟大的数学家，高斯，投了费马的反对票。不过，吃不到葡萄的狐狸就说葡萄是酸的。其他的人投了赞成他的票。费马是一个第一流的数学家、一个无可指摘的诚实的人，一个历史上无与伦比的算术学家。

   1908年，已故的保罗.沃尔夫斯凯尔教授（德国人）留下了十万马克，以奖励第一个给出费马最后定理的完全证明的人。世界大战后的通货膨胀把这笔奖金贬值到不到一分钱，这就是现在一个贪财的人证出这个定理所能得到的奖励。